Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 511390

В исправленном виде дублирует 504567.

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.

Спрятать решение

Решение.

а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику BCА.

Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если \angle ABE = альфа , то

\angle BEK=\angle BEH плюс \angle HEK=90 градусов плюс альфа , а \angle KAB=90 градусов минус альфа .

 

Значит,

\angle BEK плюс \angle KAB =90 градусов плюс альфа плюс 90 градусов минус альфа =180 градусов.

Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180° , следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.

 

б) Радиус окружности, проходящей через точки A,B и E, равен

 дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle BEA конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle AEC конец дроби .

Из подобия треугольников находим

 дробь: числитель: CE, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби , откуда CE= дробь: числитель: CH умножить на AC, знаменатель: AB конец дроби .

Тогда

AE= корень из (CE в квадрате плюс AC в квадрате ) =AC умножить на корень из ( дробь: числитель: CH в квадрате плюс AB в квадрате , знаменатель: AB в квадрате конец дроби ) = дробь: числитель: AC, знаменатель: AB конец дроби корень из (CH в квадрате плюс AB в квадрате ) .

Поэтому

 синус \angle AEC= дробь: числитель: AC, знаменатель: AE конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из (CH в квадрате плюс AB в квадрате ) конец дроби .

Следовательно, искомый радиус равен

AB: дробь: числитель: 2AB, знаменатель: корень из (CH в квадрате плюс AB в квадрате ) конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из (CH в квадрате плюс AB в квадрате ) = дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Примечание.

В авторской формулировке задачи длина гипотенузы была равна 4, а длина проведённой к ней высоты — 3. Однако высота треугольника не больше медианы, исходящей из той же вершины. Поэтому в прямоугольном треугольнике длина высоты, опущенной на гипотенузу, не больше половины длины гипотенузы. Условие исправили.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 504546: 504567 Все

Методы геометрии: Теорема синусов