РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 511382 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка 0, корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка .$

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение: $4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 = 0.$

Пусть $t = 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка ,t больше 0,$ тогда уравнение запишется в виде $4t в квадрате минус 5t минус 3 = 0$ откуда $t= дробь: числитель: 5\pm корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$

При $t= дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби$ получим $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ,$ откуда $x= логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$

При $t= дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби меньше 0$ нет решений.

б)  Заметим, что $8 меньше корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента меньше 9 равносильно дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби меньше дробь: числитель: 14, знаменатель: 8 конец дроби равносильно логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 8 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби меньше логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 14, знаменатель: 8 .$

Это означает, что $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Поскольку $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента больше 1$ найденное решение лежит в интервале $левая круглая скобка 0; корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка .$

Ответ: а) $x= логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ;$ б) $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511382

а) $x= логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ;$ б) $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби$

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511382	а) $x= логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ;$ б) $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби$