РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 511370 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Дано двузначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 10.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 9?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 8?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение. Пусть данное число равно $10a плюс b,$ где $a, b$   — цифры десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено $10a плюс b = ka плюс kb.$

а)  Если частное равно $9,$ то $10a плюс b=9a плюс 9b;$ $a=8b,$ что верно, например, при $b=1, a=8:$ частное числа $81$ и суммы его цифр равно $9.$

б)  Если частное равно $8,$ то $10a плюс b=8a плюс 8b равносильно 2a=7b.$ Получаем: $a меньше 10 равносильно 2a меньше 20 равносильно 7b меньше 20,$ что верно, например, при $b=2, a=7:$ частное числа $72$ и суммы его цифр равно $8.$

в)  Пусть k  — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного $10,$ и суммы его цифр. Тогда

$10a плюс b=ka плюс kb равносильно левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка a= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка b.$

Учитывая, что $10 больше b больше 0,$ получаем:

$9 левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка a= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка b больше или равно k минус 1,$

откуда $9 левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка больше или равно k минус 1 равносильно 10k\leqslant91 равносильно k\leqslant9.$

Частное числа $81$ и суммы его цифр равно $9.$ Значит, наибольшее натуральное значение частного двузначного числа, не кратного $10,$ и суммы его цифр равно $9.$

Ответ: а) да; б) да; в) 9.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение п. а;   — обоснованное решение п. б;   — искомая оценка в п. в;   — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

511370

а) да; б) да; в) 9.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511370	а) да; б) да; в) 9.