РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 511365 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

Окружности радиусов $4$ и $6$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно касаются в точке $A.$ Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую  — в точке $C.$ Найдите площадь треугольника $BCO_2,$ если $\angle ABO_1 = 30 градусов.$

Решение. Точки $O_1,O_2$ и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники $BO_1A$ и $CO_2A$ равнобедренные, $\angle ABO_1= \angle BAO_1=\angle CAO_2=\angle ACО_2=30 градусов,$ откуда

$AB=2O_1A косинус 30 градусов=8 косинус 30 градусов,AC=$
$=2O_2C косинус 30 градусов=12 косинус 30 градусов.$ $AB=2O_1A косинус 30 градусов=$
$=8 косинус 30 градусов,AC=$
$=2O_2C косинус 30 градусов=12 косинус 30 градусов.$

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда $BC=AC минус AB=4 косинус 30 градусов.$

$S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= 12 косинус 30 градусов синус 30 градусов=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $S_BCO_2=$
$= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= 12 косинус 30 градусов синус 30 градусов=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, откуда $BC=AC плюс AB=20 косинус 30 градусов.$

$S_BCO_2 = дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= 60 косинус 30 градусов синус 30 градусов =15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $S_BCO_2 =$
$= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= 60 косинус 30 градусов синус 30 градусов =15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ или $15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ или $15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

511365

$3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ или $15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511365	$3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ или $15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$