РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 511359 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

Длины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 4 и 3.

а)  Докажите, что расстояние от вершины $A_1$ до прямой $D_1C$ больше, чем расстояние от вершины D₁ до прямой A₁C.

б)  Найдите расстояние от вершины D₁ до прямой A₁C.

Решение. а)  Опустим из точки $D_1$ перпендикуляр $D_1E$ на прямую $A_1C.$ Так как $A_1D_1\perp левая круглая скобка D_1DC правая круглая скобка ,$ то $A_1D_1\perp D_1C,$ а, значит, отрезок $D_1E$ ― высота прямоугольного треугольника $A_1CD_1.$ В то же время $A_1D_1$   — катет этого треугольника. Поэтому $A_1D_1 больше D_1E.$

б)  Отрезок D₁E  — высота прямоугольного треугольника $A_1CD_1,$ откуда $D_1E= дробь: числитель: D_1C умножить на A_1D_1, знаменатель: A_1C конец дроби .$ Далее находим:

$D_1C= корень из: начало аргумента: D_1D в квадрате плюс DC в квадрате конец аргумента =5,$

$A_1C= корень из: начало аргумента: D_1D в квадрате плюс DC в квадрате плюс A_1D_1 конец аргумента в квадрате =13,$

$D_1E= дробь: числитель: 12 умножить на 5, знаменатель: 13 конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

511359

$дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Расстояние от точки до прямой

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511359	$дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$