РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 511353 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямая треугольная призма, Расстояние между параллельными прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Расстояние между прямыми и плоскостями

Расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $BB_1$ прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 3, а расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$ равно 5. Двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен 60°.

а)  Докажите, что расстояние между боковыми ребрами BB₁ и CC₁ равно $корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$

б)  Найдите расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BC_1C.$

Решение. Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $BB_1$ равно AB, а расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$ равно $AC.$ Кроме того, угол BAC ― линейный угол двугранного угла при ребре $AA_1.$

Таким образом, $AB=3, AC=5, \angle BAC=60 градусов.$

Рассматривая треугольник ABC, находим:

$BC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AC в квадрате минус 2AB умножить на AC умножить на косинус \angle BAC конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 25 минус 2 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 0,5 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$ $BC=$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AC в квадрате минус 2AB умножить на AC умножить на косинус \angle BAC конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 25 минус 2 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 0,5 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$ $BC=$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AC в квадрате минус 2AB умножить на AC умножить на косинус \angle BAC конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 9 плюс 25 минус 2 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 0,5 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$

б)  Пусть отрезок AH ― высота основания ABC (см. рис.). Поскольку $AH\perp BC$ и $AH\perp BB_1,$ то $AH\perp левая круглая скобка BC_1C правая круглая скобка ,$ и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой $AA_1$ до параллельной ей плоскости $BC_1C.$

Рассматривая треугольник ABC, находим:

$2S_\Delta ABC=AB умножить на AC умножить на синус \angle BAC=3 умножить на 5 умножить на синус 60 градусов = дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $2S_\Delta ABC=AB умножить на AC умножить на синус \angle BAC=$
$=3 умножить на 5 умножить на синус 60 градусов = дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$AH= дробь: числитель: 2S_\Delta ABC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

511353

$дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби .$

Классификатор стереометрии: Прямая треугольная призма, Расстояние между параллельными прямой и плоскостью

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511353	$дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента конец дроби .$