PDF-версии: 
Дан треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 13, BC = 10. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.
Обозначим 
Тогда 
Возможны два случая.
Первый случай. Предположим, что окружность радиуса r с центром 
вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром 
вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
а 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Тогда 
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому 
значит, 
поскольку 
— прямоугольник. Следовательно,
откуда находим 
Второй случай. Пусть теперь окружность радиуса r с центром вписана в угол BAC и касается боковой стороны AB в точке P, вторая окружность радиуса r с центром вписана в угол ABC, касается боковой стороны AB в точке Q, а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников 
и 
находим:
Следовательно, 
откуда находим 
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC и ACB, получим тот же результат.
Ответ: 2 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |