Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му в виде

По­ла­гая по­лу­чим си­сте­му

име­ю­щую то же ко­ли­че­ство ре­ше­ний. Кроме того, если пара чисел (u; y)  — ре­ше­ние си­сте­мы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы. Таким об­ра­зом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число ре­ше­ний крат­но че­ты­рем. Зна­чит, если си­сте­ма имеет ровно 6 ре­ше­ний, то либо либо

Если u  =  0, то сле­до­ва­тель­но, Си­сте­ма

имеет два ре­ше­ния: (0; 16), (0; −16), по­это­му этот слу­чай не под­хо­дит.

Если y  =  0, то сле­до­ва­тель­но, По­лу­ча­ем си­сте­му:

Она имеет 6 ре­ше­ний, так как каж­до­му зна­че­нию y со­от­вет­ству­ет два раз­ных зна­че­ния u.

Ответ:

При­ве­дем идею гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Пер­вое урав­не­ние за­да­ет части двух па­ра­бол:

(см. рис.).

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет окруж­ность ра­ди­у­сом с цен­тром На ри­сун­ке видно, что шесть ре­ше­ний си­сте­мы по­лу­ча­ют­ся, толь­ко если окруж­ность про­хо­дит через точки и пе­ре­се­кая па­ра­бо­лу еще в че­ты­рех точ­ках.

При этом ра­ди­ус окруж­но­сти равен от­ку­да или