РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 511314 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Системы уравнений, Тригонометрические уравнения, Уравнение с модулем

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование монотонности, оценок

При каких p данная система имеет решения: $система выражений новая строка x в квадрате минус 4px плюс 3=0, новая строка синус в квадрате Пи p плюс синус в квадрате Пи x плюс 2 в степени левая круглая скобка |y| правая круглая скобка =\left| синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 2 конец дроби |? конец системы .$

Решение. Поскольку $синус в квадрате Пи p больше или равно 0$ и $синус в квадрате Пи x больше или равно 0,|y| больше или равно 0$ и, значит, $2 в степени левая круглая скобка |y| правая круглая скобка больше или равно 1,$ левая часть второго уравнения системы не меньше, чем $1.$ Так как его правая часть не больше $1,$ оно равносильно системе

$система выражений новая строка синус в квадрате Пи p=0, новая строка синус в квадрате Пи x=0, новая строка 2 в степени левая круглая скобка |y| правая круглая скобка =1, новая строка \left| синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 2 конец дроби |=1, конец системы .$

из которой находим, что $p принадлежит Z ,x=2k плюс 1, k принадлежит Z ,y=0.$

Первое уравнение имеет целые коэффициенты и целый корень $x_1=2k плюс 1.$ Так как $x_1 плюс x_2=4p,x_2$   — тоже целое число и из равенства $x_1x_2=3$ получаем, что это нечетное число, делящее число $3.$ Такими числами являются $1, 3, минус 3$ и $минус 1.$

При $x=1$ находим $p=1,$ при $x= минус 1$ находим $p= минус 1.$

При $x= минус 3$ находим $p= минус 1.,$ при $x=3$ находим $p=1.$

Ответ: система имеет решения при $p=\pm 1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Ответ: система имеет решения при $p=\pm 1.$

511314

система имеет решения при $p=\pm 1.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511314	система имеет решения при $p=\pm 1.$