РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 511300 Добавить в вариант

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и треугольники

В треугольнике $ABC,AB=14,BC=18,CA=8.$ Точка D лежит на прямой BC причем $BD:DC=1:5.$ Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и $F.$ Найдите длину отрезка $EF.$

Решение. Пусть $AD=d, BD=x, CD=y.$ Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

$P_ADC=AE плюс ED плюс DC плюс AC=d плюс y плюс 8=2DE плюс 2 умножить на 8.$ $P_ADC=AE плюс ED плюс DC плюс AC=$
$=d плюс y плюс 8=2DE плюс 2 умножить на 8.$

Откуда получаем: $DE= дробь: числитель: d плюс y минус 8, знаменатель: 2 конец дроби .$ Аналогично, $DF= дробь: числитель: d плюс x минус 14, знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда $EF=|DE минус DF|=\left| дробь: числитель: 6 плюс y минус x, знаменатель: 2 конец дроби |.$

Возможны два случая:

1.  Точка D лежит на отрезке $BC.$ Тогда $x=3,y=15,$ значит, $EF=9.$

2.  Точка D лежит вне отрезка $BC.$ Тогда $y минус x=BC=18,$ значит, $EF=12.$

Ответ: 9 или 12.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 9 или 12.

511300

9 или 12.

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511300	9 или 12.