РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511295 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $логарифм по основанию x 2 плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 минус 6 логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка 2 меньше или равно 0.$

Решение. Запишем неравенство в виде:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 2x конец дроби минус дробь: числитель: 6, знаменатель: логарифм по основанию 2 4x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 0.$

Сделаем замену $y=\log _2x$ и приведем левую часть к общему знаменателю:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 плюс y конец дроби минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс y конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: y в квадрате плюс 3y плюс 2 плюс 3y в квадрате плюс 6y минус 6y в квадрате минус 6y, знаменатель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2y в квадрате плюс 3y плюс 2, знаменатель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 плюс y конец дроби минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс y конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: y в квадрате плюс 3y плюс 2 плюс 3y в квадрате плюс 6y минус 6y в квадрате минус 6y, знаменатель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2y в квадрате плюс 3y плюс 2, знаменатель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Решением полученного неравенства является множество $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Возвращаясь к переменной x, находим множество решений исходного неравенства: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511295

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511295	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$