Ре­ше­ние. а)  По­стро­им по­сле­до­ва­тель­но:

1.  От­рез­ки: МС, РС.

2.  Про­дол­жим от­ре­зок СР до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD. CP ∩ AD = K.

3.  Пря­мую КМ. KM ∩ AA₁ = Q.

4.  От­ре­зок PQ. PQMC  — ис­ко­мое се­че­ние. Так как точки М, Р, С по по­стро­е­нию лежат в плос­ко­сти се­че­ния, то по­лу­чен­ное се­че­ние удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

V(AC₁) = 6 · 4 · 7 = 168;

Плос­кость МРС делит па­рал­ле­ле­пи­пед на два тела. На­зо­вем их услов­но: ниж­нее и верх­нее. Ниж­нее тело со­сто­ит из двух пи­ра­мид: че­ты­рех­уголь­ной PAQMD (ос­но­ва­ние AQMD, вы­со­та AP) и тре­уголь­ной MDPC (ос­но­ва­ние Δ DPC, вы­со­та MD ).

Вы­чис­лим объем каж­дой из на­зван­ных пи­ра­мид.

AQMD  — тра­пе­ция, у ко­то­рой ос­но­ва­ния AQ  =  1; MD  =  2, вы­со­та AP  =  3.

=

Те­перь най­дем ис­ко­мое от­но­ше­ние. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)   Для на­хож­де­ния рас­сто­я­ния от точки D до плос­ко­сти МРС вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом объ­е­мов. Выше мы уже рас­смат­ри­ва­ли пи­ра­ми­ду MDPC. Если за ее ос­но­ва­ние при­нять Δ MPC, то ее вы­со­та и будет рас­сто­я­ни­ем от точки D до плос­ко­сти MPC.

Най­дем пло­щадь Δ MPC.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми Пусть h_a  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, опу­щен­но­го на ос­но­ва­ние a = 5, c_a  — про­ек­ция с на ос­но­ва­ние а, c_a = x, b_a  — про­ек­ция b на ос­но­ва­ние а, тогда b_a = 5 − x, h²  =  a² − x², h² = b² − (5 − x)², 40 − x² = 29 − 25 + 10x − x²; 10x = 36;

Ответ: б)