Ре­ше­ние. а)  Пусть ка­те­ты за­дан­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равны a и b, ги­по­те­ну­за равна c. Пре­жде до­ка­жем, что ра­ди­ус r окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник, может быть вы­чис­лен по фор­му­ле Будем рас­суж­дать так:

Из­вест­но, что

Если нам удаст­ся до­ка­зать, что вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство для за­дан­но­го тре­уголь­ни­ка, то цель будет до­стиг­ну­та.

(по­след­нее ра­вен­ство верно для лю­бо­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка). Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен Тогда диа­метр этой окруж­но­сти d  =  a + b − c.

Как из­вест­но, диа­метр окруж­но­сти D, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, будет равен его ги­по­те­ну­зе, т. е. с.

Таким об­ра­зом, d + D  =  a + b − c + c  =  a + b, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть AC  =  b, BC  =  a, AH  =  b₁, BH  =  a₁, CH  =  h; r_c, r_b, r_a  — ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABC, ACH и BCH со­от­вет­ствен­но. Тогда по ска­зан­но­му выше:

Ответ: б)