РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 510671 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $4 косинус в степени 4 x минус 4 косинус в квадрате x плюс 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Выделим полный квадрат:

$левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 2 косинус в квадрате x=1 равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$ $левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 2 косинус в квадрате x=1 равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$ Получим $x= минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

510671

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Группировка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510671	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$