PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что прямые B1D и AC перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.
Решение. а) Проекция B1D на плоскость ABCD это прямая BD. Но BD и AC перпендикулярны как прямые, содержащие диагонали квадрата. Тогда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что отрезок B1D перпендикулярен диагонали AC. Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина отрезка AD1. Примем длины ребер куба за a. Из прямоугольного треугольника ABB1 по теореме Пифагора найдём AB1:
Аналогично,
Опустим перпендикуляры B1H и CK на сторону AD1 треугольники AB1D1 и ACD1 равносторонние, поэтому перпендикуляры B1H и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол B1MC — искомый. Из прямоугольного треугольника AB1M:
По теореме косинусов из треугольника B1MC:
Следовательно, угол между плоскостями равен 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |