PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства
является отрезок.
Решение. Запишем неравенство в виде
и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства. Графиком функции 
является часть параболы, она выделена на рисунке цветом океанской воды. График функции 
при различных значениях параметра получается сдвигом графика функции 
на |а| единиц влево или вправо.
Из рисунка видно, что при 
график правой части неравенства лежит ниже графика левой части, а значит, неравенство не имеет решений. При 
графики имеют единственную общую точку (изображено пурпурным) и неравенство имеет единственное решение. При 
решением неравенства является отрезок. При 
кроме отрезка решением является еще и точка 
(изображено кумачовым), что не подходит по условию. При 
где 
— 
(выделено древесным цветом) решение снова превратится в один отрезок. При 
решение остается отрезком, пока, при 
решением не станет точка (изображено цветом травы). При 
для любых значений переменной из области определения неравенства график модуля лежит ниже графика корня, и неравенство не имеет решений.
Найдем :
в точке касания 
равно угловому коэффициенту касательной, откуда получаем уравнение:
Таким образом, 
или 
Ответ: 
Примечание.
Точка касания может быть найдена и без производной. Действительно, парабола имеет с касательной к ней единственную общую точку, поэтому полупарабола, являющаяся графиком функции 
и прямая 
являющаяся правым лучом графика функции 
имеют ровно одну общую точку. Абсцисса x0 этой точки определяется из уравнения:
Полученное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант
равен нулю, откуда 
Найденному значению параметра соответствует уравнение 
то есть 
откуда определяем абсциссу точки касания 
При возведении в квадрат уравнения 
могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. Подставляя найденные значения и x0, находим:
Полученное числовое равенство верно, поэтому при найденном значении параметра действительно происходит касание.
Приведем идею другого решения.
Положим, 
тогда задача сводится к исследованию неравенства
при 
Для решения полученной системы можно применить метод областей.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки | 3 |
| Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна | 2 |
| Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |