РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 510364 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, однородные, относительно показательных функций, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Простые системы неравенств. Системы, содержащие логарифмическое неравенство

Решите систему неравенств:

$система выражений 4 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 257 умножить на 2 в степени x плюс 16\leqslant0,2 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3,7 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2. конец системы$

Решение. Решим первое неравенство. Сделаем замену $y=2 в степени x ,$ имеем:

$16y в квадрате минус 257y плюс 16\leqslant0 равносильно левая круглая скобка y минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 16y минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно y\leqslant16.$

Отсюда получаем решение первого неравенства:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно 2 в степени x меньше или равно 16 равносильно минус 4 меньше или равно x\leqslant4.$

Решим второе неравенство. Первое слагаемое определено при $дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3,7 конец дроби больше 0,$ то есть при $x меньше минус 2$ или $x больше 3,7.$ Запомнив это, преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию 2 дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant4 равносильно x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 4,x\geqslant0. конец совокупности$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 3,7 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant2 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате \geqslant4 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 4,x\geqslant0. конец совокупности$

Получаем решение второго неравенства:

$совокупность выражений x\leqslant минус 4x больше 3,7. конец совокупности$

Решением системы является общая часть решений обоих неравенств: $x= минус 4или3,7 меньше x\leqslant4.$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 4 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3,7;4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

510364

$левая фигурная скобка минус 4 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3,7;4 правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, однородные, относительно показательных функций, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510364	$левая фигурная скобка минус 4 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3,7;4 правая квадратная скобка .$