РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 510362 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x, знаменатель: 2 косинус x плюс 1 конец дроби =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка \ левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Левая часть уравнения определена при $косинус x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть при $x не равно \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ Числитель дроби должен быть равен $0$ :

$2 синус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x=0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности равносильно совокупность выражений x= Пи n, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности$ $2 синус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x=0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности равносильно совокупность выражений x= Пи n, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности$

Серию $x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ нужно отбросить. Получаем ответ: $Пи n, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке $левая квадратная скобка \ левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получим числа: $2 Пи ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $3 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи n, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n: n принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б) $2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; 3 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

510362

а) $левая фигурная скобка Пи n, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n: n принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б) $2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; 3 Пи .$

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510362	а) $левая фигурная скобка Пи n, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n: n принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б) $2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; 3 Пи .$