PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точка T — середина ребра AD.
а) Докажите, что плоскость A1BT делит объем куба в отношении 1 : 11.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT.
Решение. а) Найдём объём пирамиды A1ATB, это одна из частей, на которые куб делится плоскостью A1BT. Он равен
поэтому объём второй части куба равен 
Отсюда искомое отношение равно
что и требовалось доказать.
б) Пусть h — искомое расстояние. Найдём двумя способами объём пирамиды A1ATB. С одной стороны, из пункта а), он равен
С другой стороны, он равен 
Треугольник A1BT — равнобедренный, его основание A1B равно 
а боковые стороны равны 
Если H — середина основания A1B, то 
поэтому 
Следовательно, объём пирамиды A1ATB равен 
Приравняем выражения для объёма:
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |