РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 510050 Добавить в вариант

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $косинус 2x= 1 минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая круглая скобка .$

Решение. а)  Преобразуем обе части уравнения:

$1 минус 2 синус в квадрате x=1 минус синус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x=0 равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0,$ $1 минус 2 синус в квадрате x=1 минус синус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0,$

откуда $синус x = 0$ или $синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Из уравнения $синус x = 0$ находим: $x= Пи n,$ где $n принадлежит Z .$

Из уравнения $синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ находим: $x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,$ где $k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая круглая скобка .$ Получим числа: $минус 2 Пи ;$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $Пи n,$ $n принадлежит Z ;$ $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,$ $k принадлежит Z ,$ б) $минус 2 Пи ;$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.

Ключ