РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 510022 Добавить в вариант

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень.

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи о кредитах, Общие задачи по финансовой математике

Финансовая математика. Кредиты

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m  =  1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a₁  =  am − x. После второй выплаты сумма долга составит:

$a_2=a_1m минус x= левая круглая скобка am минус x правая круглая скобка m минус x=$
$=am в квадрате минус mx минус x=am в квадрате минус левая круглая скобка 1 плюс m правая круглая скобка x.$ $a_2=a_1m минус x=$
$= левая круглая скобка am минус x правая круглая скобка m минус x=$
$=am в квадрате минус mx минус x=$
$=am в квадрате минус левая круглая скобка 1 плюс m правая круглая скобка x.$

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

$a_3=am в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс m плюс m в квадрате правая круглая скобка x=am в кубе минус дробь: числитель: m в кубе минус 1, знаменатель: m минус 1 конец дроби умножить на x.$ $a_3=am в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс m плюс m в квадрате правая круглая скобка x=$
$=am в кубе минус дробь: числитель: m в кубе минус 1, знаменатель: m минус 1 конец дроби умножить на x.$

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому $am в кубе минус дробь: числитель: m в кубе минус 1, знаменатель: m минус 1 конец дроби умножить на x = 0,$ откуда $x= дробь: числитель: am в кубе левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: m в кубе минус 1 конец дроби .$ При a = 9 930 000 и k  =  10, получаем: m  =  1,1 и

$x= дробь: числитель: 9930000 умножить на 1,331 умножить на 0,1, знаменатель: 0,331 конец дроби =3993000 левая круглая скобка рублей правая круглая скобка .$ $x= дробь: числитель: 9930000 умножить на 1,331 умножить на 0,1, знаменатель: 0,331 конец дроби =$
$=3993000 левая круглая скобка рублей правая круглая скобка .$

Ответ: 3 993 000 рублей.

Приведём другое решение.

Пусть x  — один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: $9930000 умножить на 1,1 минус x.$ После внесения второго платежа сумма долга станет равной $левая круглая скобка 9930000 умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x.$ Сумма долга после третьего платежа: $левая круглая скобка левая круглая скобка 9930000 умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x.$ Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:

$левая круглая скобка левая круглая скобка 9930000 умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x=0 равносильно$
$равносильно 9930000 умножить на 1,1 в кубе минус 1,1 левая круглая скобка 1,1x плюс x правая круглая скобка минус x=0 равносильно .$ $левая круглая скобка левая круглая скобка 9930000 умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x правая круглая скобка умножить на 1,1 минус x=0 равносильно$
$равносильно 9930000 умножить на 1,1 в кубе минус 1,1 левая круглая скобка 1,1x плюс x правая круглая скобка минус x=0 равносильно$
$равносильно .$

$равносильно 9930000 умножить на 1,1 в кубе минус 3,31x=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 9930000 умножить на 1,1 в кубе , знаменатель: 3,31 конец дроби =3993000 левая круглая скобка рублей правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень.

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи о кредитах, Общие задачи по финансовой математике

Ключ