Ре­ше­ние. а)  Пусть a₁  =  3 и a₂  =  1. Тогда a₃  =  3 + 1  =  4, a₄  =  1 + 4  =  5, a₅  =  4 + 5  =  9 и 5a₅  =  9a₄.

б)  Пред­по­ло­жим, что 5a₅  =  7a₄. Тогда a₅  =  7a и a₄  =  5a, где Имеем a₃  =  a₅ − a₄  =  2a, a₂  =  a₄ − a₃  =  3a и a₁  =  a₃ − a₂  =  − a < 0. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти 3, 3, 6, 9, 15, 24, ... по­ка­зы­ва­ет, что ра­вен­ство может вы­пол­нять­ся при n  =  5. Дей­стви­тель­но, для такой по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­пол­не­ны усло­вия за­да­чи и 15a₆  =  24a₅.

Пусть n ≥ 6 и По­ло­жим Тогда a_n  =  3na и Имеем

a_{n − 4} > 0, по­это­му n² − 5n − 1 < 0. Сле­до­ва­тель­но, n < 6. По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что при n ≥ 6 ра­вен­ство вы­пол­нять­ся не может.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  при n  =  5.

При­ведём идею ре­ше­ния п. в) Лео­ни­да Кол­мо­гор­це­ва.

Если ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся то от­ку­да в силу того, что после почлен­но­го де­ле­ния по­лу­ча­ем:

Левая часть по­лу­чен­но­го ра­вен­ства мень­ше 2 для всех n, так как Пра­вая часть ра­вен­ства яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей функ­ций от n. По­это­му ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства могут быть толь­ко такие зна­че­ния пе­ре­мен­ной, для ко­то­рых пра­вая часть мень­ше 2. Сле­до­ва­тель­но, Далее рас­смот­рим воз­мож­ность су­ще­ство­ва­ния ре­ше­ния при и ана­ло­гич­но пунк­там а) и б).