PDF-версии: 
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Решение. Пусть ABCP — данная правильная треугольная пирамида с вершиной P, AB = BC = AC = a, M — центр равностороннего треугольника ABC, ∠PAM = ∠PBM = ∠PCM = 60°. Поскольку пирамида правильная, PM — её высота. Из прямоугольного треугольника PAM находим, что
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC, он лежит на прямой PM. Рассмотрим сечение пирамиды ABCP плоскостью, проходящей через точки A, P и середину L ребра BC. Получим треугольник APL, вершины A и P которого расположены на окружности с центром, лежащим на высоте PM, причём радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCP, и AM = 2ML.
Продолжим AL до пересечения с окружностью в точке Q. Поскольку ∠PAQ = 60° и PQ = AP, треугольник APQ — равносторонний, поэтому
Второй способ. Пусть ABCP — данная правильная треугольная пирамида с вершиной P, AB = BC = AC = a, M — центр равностороннего треугольника ABC, ∠PAM = = ∠PBM = ∠PCM = 60°. Поскольку пирамида правильная, PM — её высота.
Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC, он лежит на прямой PM.
Продолжим высоту PM пирамиды до пересечения с описанной сферой в точке Q. Рассмотрим сечение пирамиды ABCP плоскостью, проходящей через точки A, P и Q. Поскольку PQ — диаметр окружности, радиус которой равен искомому радиусу R сферы, треугольник APQ — прямоугольный. Отрезок AM — его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит, AM2 = PM · MQ = PM(PQ − PM), или
Из этого уравнения находим, что 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |