PDF-версии: 
Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.
Решение. Рассмотрим куб с вершиной P (рис. 1). Пусть его диагональ, проведённая из вершины P, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершину P, углы, равные α. Если ребро куба равно c, то его диагональ равна
Значит,
Пусть касающиеся шары радиусов r и R (r < R) с центрами O1, O2 вписаны в трёхгранный угол с вершиной P некоторого куба, M1 и M2 — точки касания шаров с плоскостью какой-нибудь грани трёхгранного угла, Q — точка касания шаров. Тогда O1M1 и O2M2 — перпендикуляры к этой плоскости, точка Q лежит на отрезке O1O2, прямая O1O2 образует с этой плоскостью угол α.
Проведём плоскость через параллельные прямые O1M1 и O2M2 (рис. 2). Опустим перпендикуляр O1F из центра O1 меньшего шара на прямую O2M2. В прямоугольном треугольнике O1FO2 известно, что
O1O2 = r + R, O2F = R − r, ∠FO1O2 = α.
Поэтому
Тогда 
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |