PDF-версии: 
Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности и три из них — основания конуса.
Решение. Пусть данные сферы с центрами O1, O2 и O3 касаются основания конуса с вершиной A, а центр O4 четвёртой сферы лежит на высоте конуса, равной H. Рассмотрим правильный тетраэдр O1O2O3O4, ребро которого равно 2. Если h — его высота, а α — угол между высотой O4M и боковым ребром, то
Пусть сфера с центром O4 касаются боковой поверхности конуса в точке B. Тогда O4B ⊥ AB и
Следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |