PDF-версии: 
Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.
Решение. Пусть сфера радиуса r с центром O касается внутренним образом данных сфер с центрами O1, O2, O3 и O4. Тогда O — центр правильного тетраэдра O1O2O3O4, ребро которого равно 2. Радиус R сферы, описанной около правильного тетраэдра O1O2O3O4, равен
его высоты, т. е.
Следовательно, 
Если сфера радиуса r с центром O касается данных сфер внешним образом, то аналогично находим, что
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или