Ре­ше­ние. а)  Пусть Q  — центр вто­рой окруж­но­сти, M и N  — её точки ка­са­ния со сто­ро­на­ми AB и AC со­от­вет­ствен­но, а точка H  — про­ек­ция точки Q на BC. Имеем: сле­до­ва­тель­но, Тогда По­это­му что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть x  — ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OHQ:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OH² + QH²  =  OQ², от­ку­да

Усло­вию 12 − 5x > 0 удо­вле­тво­ря­ет толь­ко x  =  2.

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в дан­ный тре­уголь­ник также равен 2. Это озна­ча­ет, что боль­шая окруж­ность в дей­стви­тель­но­сти яв­ля­ет­ся впи­сан­ной в тре­уголь­ник и ка­са­ет­ся ка­те­та ВС. Это не вли­я­ет на пра­виль­ность про­ве­ден­ных вы­чис­ле­ний.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Ивана Ива­но­ва (Вла­ди­во­сток).

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB  =  13. Далее По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке QOH:

Пусть тогда Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна сумме пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BQC, AQC и AQB. Вы­ра­зим пло­щадь:

При­рав­ни­вая эти вы­ра­же­ния, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

сле­до­ва­тель­но, Най­ден­ное зна­че­ние ра­ди­у­са вто­рой окруж­но­сти удо­вле­тво­ря­ет усло­вию пунк­та а) за­да­чи, тем самым до­ка­зы­вая утвер­жде­ние «ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти мень­ше чем  длины ка­те­та AC».