PDF-версии: 
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB = 10.
Решение. а) Построим прямые
такие что: 
тогда 
искомое сечение параллелограмм 
Покажем, что EKFM прямоугольник:
б) Заметим, что 
и E — середина DB, тогда EK — средняя линия треугольника 
Значит, 
аналогично 
EKMF — прямоугольник, поэтому получаем:
Пусть прямая MK пересекает прямую EF в точке O, тогда 
Заметим, что 
(чтобы косинус в ответе получился положительным, а полученный угол — острым). Применим теорему косинусов в треугольнике 
:
Откуда 
Ответ: 
Идея окончания решения Игоря Калинкина.
Можно найти площадь сечения, перемножив стороны прямоугольника и приравнять полученное произведение к формуле площади параллелограмма через диагонали (
где α — угол между диагоналями). Выразив отсюда синус угла между диагоналями и найдя арксинус, получим 
Идея окончания решения Марины Максимовской.
Рассмотрим равнобедренный треугольник МОЕ, проведём высоту к МЕ. В получившемся прямоугольном треугольнике выразим тангенс половины нужного угла. Половина нужного угла получится 
тогда весь угол — 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |