СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 509094

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

Решение.

а) Пусть Так как — центр вписанной окружности треугольника то — биссектрисы углов и значит, Угол внешний для треугольника поэтому (см. рисунок).

Так как (по построению), то тогда Углы и опираются на один и тот же отрезок и равны друг другу: Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки лежат на одной окружности.

б) Обозначим через радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Пусть  — проекция точки на сторону (см. рис.), тогда Так как точки лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника совпадает с радиусом описанной окружности треугольника и равен Из треугольника по теореме синусов: Тогда

Так как то

 

Ответ: 14,4.


Аналоги к заданию № 509094: 511589 511592 Все

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Вписанные окружности, Окружности и треугольники