Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по­сколь­ку в тур­ни­ре участ­ву­ют 16 иг­ро­ков, всего будет че­ты­ре тура, в каж­дом из ко­то­рых будут иг­рать 16, 8, 4 и 2 че­ло­ве­ка со­от­вет­ствен­но. Пусть со­бы­тие A  — Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, со­бы­тие B  — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом туре и встре­ти­лись во вто­ром, со­бы­тие C  — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом и вто­ром туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом и вто­ром туре и встре­ти­лись в тре­тьем, D  — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом, вто­ром и тре­тьем туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом, вто­ром и тре­тьем туре и встре­ти­лись в четвёртом.

Ве­ро­ят­ность того, что Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ют в пер­вом туре, равна Ве­ро­ят­ность со­бы­тия, при ко­то­ром Иван с Алек­се­ем не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, но оба вы­иг­ра­ли в пер­вом туре и встре­ти­лись во вто­ром туре, равна

Ана­ло­гич­но, ве­ро­ят­ность со­бы­тия C:

Оста­лось найти ве­ро­ят­ность того, что Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ют в четвёртом туре:

Те­перь найдём ис­ко­мую ве­ро­ят­ность:

Ответ: 0,125.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В пер­вом туре тур­ни­ра участ­ву­ют 16 иг­ро­ков, раз­бить их на про­из­воль­ные пары можно спо­со­ба­ми. Пусть n  — число всех воз­мож­ных ва­ри­ан­тов про­хож­де­ния игр тур­ни­ра. В пер­вом туре встре­ча­ют­ся 8 пар иг­ро­ков, по­это­му во всех воз­мож­ных n ва­ри­ан­тах пер­во­го тура может быть 8n пар. Все эти пары рав­но­воз­мож­ны, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что одну из них со­став­ля­ют два вы­бран­ных иг­ро­ка равна то есть

Если вы­бран­ные иг­ро­ки не встре­ти­лись в пер­вом туре, они могут встре­тить­ся во вто­ром. В нем при­мут уча­стие 4 ко­ман­ды, ве­ро­ят­ность встре­чи иг­ро­ков равна или

В тре­тьем туре при­мут уча­стие 4 че­ло­ве­ка, из них можно со­ста­вить две пары, в чет­вер­той игре участ­ву­ют 2 че­ло­ве­ка, пара толь­ко одна; ис­ко­мые ве­ро­ят­но­сти суть и со­от­вет­ствен­но.

Пе­ре­чис­лен­ные со­бы­тия не­сов­мест­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Решим за­да­чу в общем виде.

Пусть в тур­ни­ре по олим­пий­ской си­сте­ме (игра на­вы­лет, плей-⁠офф) участ­ву­ют n иг­ро­ков (n  — сте­пень двой­ки, всего в тур­ни­ре про­во­дит­ся n −1 игра). Раз­бить n иг­ро­ков на про­из­воль­ные пары можно спо­со­ба­ми. Для каж­до­го воз­мож­но­го тур­ни­ра по­стро­им де­ре­во игр, в вер­ши­нах ко­то­ро­го ука­жем имена двух встре­тив­ших­ся в со­от­вет­ству­ю­щей игре иг­ро­ков. Любая пара иг­ро­ков в тур­ни­ре может сыг­рать друг с дру­гом не боль­ше од­но­го раза. Вы­бе­рем один из тур­ни­ров, рас­смот­рим со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что двое на­пе­ред вы­бран­ных иг­ро­ков встре­ти­лись в пер­вой игре пер­во­го тура. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна 1/k, то есть Вы­би­ра­ем вто­рую игру пер­во­го тура, тре­тью и так далее до по­след­ней n −1 -ой игры по­след­не­го тура. Эти со­бы­тия рав­но­ве­ро­ят­ны и не­сов­мест­ны, а по­то­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность их суммы равна