Ре­ше­ние. Пусть со­бы­тие A  — па­ци­ент болен, со­бы­тие B  — тест вы­яв­ля­ет на­ли­чие за­бо­ле­ва­ния. Тогда P(A)  =  x  — ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент болен. Если за­бо­ле­ва­ние дей­стви­тель­но есть, то тест под­твер­жда­ет его в 86% слу­ча­ев, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент болен и тест под­твер­жда­ет это, равна P(AB)  =  x · 0,86. Если за­бо­ле­ва­ния нет, то тест вы­яв­ля­ет от­сут­ствие за­бо­ле­ва­ния в 94% слу­ча­ев, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что па­ци­ент не болен, а тест дал по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда ве­ро­ят­ность того, что тест ока­жет­ся по­ло­жи­тель­ным, равна От­сю­да вы­ра­зим x:

Тогда ве­ро­ят­ность того, что че­ло­век, у ко­то­ро­го тест ока­зал­ся по­ло­жи­тель­ным, дей­стви­тель­но имеет за­бо­ле­ва­ние, равна

Ответ: 0,43.

При­ве­дем ре­ше­ние Ви­та­лия Вя­ли­ко­ва.

Пусть x  — число боль­ных па­ци­ен­тов и y  — число здо­ро­вых. Тогда всего име­ет­ся x + y па­ци­ен­тов. Общее число по­ло­жи­тель­ных ПЦР-⁠те­стов по усло­вию равно 0,1(x + y), из ко­то­рых 0,86x те­стов при­хо­дит­ся на боль­ных па­ци­ен­тов и 0,06y те­стов  — на здо­ро­вых. Тогда

По­это­му ве­ро­ят­ность того, что по­ло­жи­тель­ный ПЦР-⁠тест был взят у боль­но­го па­ци­ен­та, равна