Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 508646

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой α, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45°.

а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую α.

б) Найдите радиус меньшей сферы.

Спрятать решение

Решение.

а) Очевидно, центры шаров равноудалены от граней двугранного угла, поэтому лежат в его биссекторе. Построим тогда перпендикуляры к ребру угла из одной точки в наших плоскостях, а в плоскости, содержащей эти перпендикуляры, построим биссектрису линейного угла. Тогда плоскость, содержащая ее и ребро угла — искомая.

 

б) Обозначим центры сфер за O_1 и O, их проекции на ребро угла — за A_1 и A, точку пересечения O_1O и A_1A — за B. Тогда треугольник O_1A_1B — прямоугольный с углом 45 градусов, поэтому BA=AO_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби =2. Пусть радиус меньшей сферы равен r, тогда OO_1=1 плюс r, BO=BO_1 минус 1 минус r=2 корень из 2 минус 1 минус r. С другой стороны, O_1A_1= дробь: числитель: r, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби =2r и O_1A_1= дробь: числитель: BO, знаменатель: корень из 2 конец дроби , откуда 2 корень из 2r=2 корень из 2 минус 1 минус r, r= дробь: числитель: 2 корень из 2 минус 1, знаменатель: 2 корень из 2 плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 9 минус 4 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 9 минус 4 корень из 2, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Система шаров