РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508576 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 9x плюс 7, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби меньше или равно минус 2.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 9x плюс 7, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби меньше или равно минус 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби меньше или равно минус 2 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше или равно минус 2.$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка ,$ тогда неравенство примет вид:

$t левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше или равно минус 2 равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно t меньше или равно 2 равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 2.$ $t левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше или равно минус 2 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2 меньше или равно 0 равносильно 1 меньше или равно t меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 2.$ $t левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше или равно минус 2 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно t меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше x плюс 1 меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 1 равносильно система выражений 2x плюс 7 меньше или равно x плюс 1,2x плюс 7 больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений x меньше или равно минус 6,x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец системы решенийнет.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 1 равносильно$
$равносильно система выражений 2x плюс 7 меньше или равно x плюс 1,2x плюс 7 больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений x меньше или равно минус 6,x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец системы решенийнет.$

Второй случай: $x плюс 1 больше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 2, x плюс 1 больше 1 конец системы равносильно система выражений 2x плюс 7 больше или равно x плюс 1,2x плюс 7 меньше или равно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , x больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно минус 6,x в квадрате минус 6 больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно x больше или равно корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 2, x плюс 1 больше 1 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 2x плюс 7 больше или равно x плюс 1,2x плюс 7 меньше или равно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , x больше 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно минус 6,x в квадрате минус 6 больше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно x больше или равно корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Решение неравенства: $x больше или равно корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Ответ: $левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508576

$левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508576	$левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$