РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508563 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Решение. Заметим, что второе слагаемое обратно первому. Сделаем замену $t = логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка =t$ тогда:

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби \leqslant2 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: t конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t=1,t меньше 0. конец совокупности .$

Из уравнения совокупности получаем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка =1 равносильно система выражений 2x плюс 1=4x минус 5,2x плюс 1 больше 0, 2x плюс 1 не равно 1, конец системы . равносильно x=3.$

Из неравенства совокупности получаем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка минус \lg1, знаменатель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус \lg1 конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 4x минус 6, знаменатель: 2x конец дроби меньше 0,4x минус 5 больше 0,2x плюс 1 больше 0, конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка минус \lg1, знаменатель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус \lg1 конец дроби меньше 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 4x минус 6, знаменатель: 2x конец дроби меньше 0,4x минус 5 больше 0,2x плюс 1 больше 0, конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508563

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508563	$левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$