РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508542 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Неравенства. Показательные выражения и иррациональности

Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: 3 умножить на 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка \geqslant2 в степени x минус 3.$

Решение. Пусть $2 в степени x =t,t больше 0,$ тогда данное неравенство принимает вид:

$корень из: начало аргумента: 3t в квадрате минус 10t плюс 3 конец аргумента больше или равно t минус 3.$

Область определения этого неравенства задается условием:

$3t в квадрате минус 10t плюс 3 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,t больше или равно 3. конец совокупности$

При $t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех $t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

При $t больше или равно 3$ имеем:

$система выражений корень из: начало аргумента: 3t в квадрате минус 10t плюс 3 конец аргумента больше или равно t минус 3,t больше или равно 3 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 1 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате ,t\geqslant3 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0,t\geqslant3 конец системы равносильно t\geqslant3.$ $система выражений корень из: начало аргумента: 3t в квадрате минус 10t плюс 3 конец аргумента больше или равно t минус 3,t больше или равно 3 конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 1 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате ,t\geqslant3 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0,t\geqslant3 конец системы равносильно t\geqslant3.$ $система выражений корень из: начало аргумента: 3t в квадрате минус 10t плюс 3 конец аргумента больше или равно t минус 3,t больше или равно 3 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 1 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате ,t\geqslant3 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0,t\geqslant3 конец системы равносильно t\geqslant3.$

Возвращаясь к исходной переменной получаем:

$совокупность выражений 2 в степени x \leqslant3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,2 в степени x \geqslant3. конец совокупности равносильно совокупность выражений x\leqslant минус логарифм по основанию 2 3,x больше или равно логарифм по основанию 2 3. конец совокупности$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус логарифм по основанию 2 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508542

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус логарифм по основанию 2 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$