РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508506 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка \dfrac1x плюс \dfrac2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Решение. Преобразуем неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше x плюс 2 меньше или равно x в квадрате равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше x плюс 2 меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0. конец системы .$

Откуда, учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $минус 2 меньше x меньше минус 1$ или $x больше или равно 2.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно x плюс 2 больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно x плюс 2 больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$

Итак, учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем: $минус 1 меньше x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 1.$

Множество решений неравенства: $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведём другое решение.

Заметим, что исходное неравенство равносильно неравенству

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби \leqslant0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате \leqslant0.$

Применим метод рационализации к неравенству $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате$ :

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате равносильно \begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x больше минус 2. \endcases равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше 0, 0 меньше x меньше 1, x\geqslant2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно$
$равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x больше минус 2. \endcases равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше 0, 0 меньше x меньше 1, x\geqslant2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508506

$левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508506	$левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$