РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508504 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 0,25 больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 32x минус 1.$

Решение. Заметим, что в ОДЗ данного неравенства входят все положительные числа за исключением $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,25 правая круглая скобка 2x конец дроби больше или равно логарифм по основанию 2 32x минус 1 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию 2 x плюс 1 конец дроби больше или равно логарифм по основанию 2 x плюс 4.$

Сделаем замену $z= логарифм по основанию 2 x;$ имеем:

$минус дробь: числитель: 2, знаменатель: z плюс 1 конец дроби больше или равно z плюс 4 равносильно дробь: числитель: z в квадрате плюс 5z плюс 6, знаменатель: z плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка z плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка z плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: z плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка z меньше или равно минус 3 новая строка минус 2 меньше или равно z меньше минус 1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 2, знаменатель: z плюс 1 конец дроби больше или равно z плюс 4 равносильно дробь: числитель: z в квадрате плюс 5z плюс 6, знаменатель: z плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка z плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка z плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: z плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка z меньше или равно минус 3 новая строка минус 2 меньше или равно z меньше минус 1. конец совокупности .$

Тогда $логарифм по основанию 2 x меньше или равно минус 3$ или $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,$ откуда получаем множество решений неравенства: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508504

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508504	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$