РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508452 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство: $x в квадрате \log _16x больше или равно \log _16x в степени 5 плюс x\log _2x.$

Решение. Перенесём все члены в левую часть и умножим на 4:

$x в квадрате \log _16x больше или равно \log _16x в степени 5 плюс x\log _2x равносильно x в квадрате логарифм по основанию 2 x минус 4x логарифм по основанию 2 x минус 5 логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0.$ $x в квадрате \log _16x больше или равно \log _16x в степени 5 плюс x\log _2x равносильно$
$равносильно x в квадрате логарифм по основанию 2 x минус 4x логарифм по основанию 2 x минус 5 логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0.$ $x в квадрате \log _16x больше или равно \log _16x в степени 5 плюс x\log _2x равносильно$
$равносильно x в квадрате логарифм по основанию 2 x минус 4x логарифм по основанию 2 x минус 5 логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0.$

Заметим, что $x больше 0,$ поэтому $x плюс 1 больше 0.$ Получаем:

$левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 1,x больше или равно 5. конец совокупности .$ $левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x\geqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 1,x больше или равно 5. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508452

$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508452	$левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$