PDF-версии: 
Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что 
BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что: а) треугольник остроугольный, б) угол B тупой.
Решение. 1. Решим эту задачу для случая, когда ABC — остроугольный треугольник.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Поэтому, треугольник ABC подобен треугольнику BDE. Коэффициентом подобия этих треугольников является 
По теореме Пифагора из треугольника BEC
По теореме косинусов из треугольника ABC
2. Решим эту задачу для случая, когда угол B тупой. Пусть P — точка пересечения его высот.
В остроугольном треугольнике ACH прямые AE и CD являются высотами, следовательно, по свойствам высоты остроугольного треугольника, треугольники ACP и EDP являются подобными с коэффициентом подобия Из прямоугольного треугольника AEP
Треугольники AEP и ABD подобны по двум углам, потому что они имеют общий угол A и оба прямоугольные. Следовательно, ∠P = ∠ABD, ∠ABC = 180° − ∠ABD.
По теореме косинусов из треугольника ABC
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |