РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507791 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямая треугольная призма, Угол между прямыми

Стереометрическая задача. Угол между скрещивающимися прямыми

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Высота призмы равна 6.

а)  Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC₁ и параллельная прямой CB₁ проходит через середину ребра A₁B₁.

б)  Найдите угол между прямыми AC₁ и CB₁.

Решение. Достроим призму до прямоугольного параллелепипеда с основанием ACBD и верхним основанием $A_1C_1B_1D_1.$

а)  Прямая $AD_1$ параллельна прямой $CB_1,$ поэтому плоскость $C_1AD_1 || CB_1.$ $A_1C_1B_1D_1$   — прямоугольник, поэтому его диагонали пересекают друг друга посередине, значит, плоскость $C_1AD_1$ проходит через середину ребра $A_1B_1.$

б)  Прямая $AD_1$ параллельна прямой $CB_1,$ поэтому искомый угол $C_1AD_1.$ Из прямоугольного треугольника ACB находим: $AC=8.$ Значит, AD тоже равно 8. Из прямоугольных треугольников $ACC_1$ и $ADD_1$ получаем: $AC_1=AD_1=10,$ а диагональ $C_1D_1$ квадрата $A_1C_1B_1D_1$ равна $8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Из равнобедренного треугольника $C_1AD_1$ получаем:

$\angle C_1AD_1=2 арксинус дробь: числитель: C_1D_1, знаменатель: 2AC_1 конец дроби =2 арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Примечание.

Для нахождения угла можно воспользоваться теоремой косинусов:

$C_1D_1 в квадрате =AC_1 в квадрате плюс AD_1 в квадрате минус 2AC_1 умножить на AD_1 умножить на косинус \angle C_1AD_1 равносильно$
$равносильно 128=100 плюс 100 минус 2 умножить на 10 умножить на 10 умножить на косинус \angle C_1AD_1 равносильно$

$равносильно косинус \angle C_1AD_1= дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби .$

Ответ: $2 арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби$ или $арккосинус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

507791

$2 арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби$ или $арккосинус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби .$

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямая треугольная призма, Угол между прямыми

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507791	$2 арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби$ или $арккосинус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби .$