В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Решение. а) Проекция прямой AS на плоскость основания пирамиды — прямая AC. $AC\perp BD$ как диагонали квадрата. Поэтому по теореме о трех перпендикулярах $AS\perp BD.$

б) Рассмотрим треугольник ASC и его высоты CH и $SM.$ Составим равенство

$CH умножить на AS=SM умножить на AC,AC= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;AM= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому $SM= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда $CH= дробь: числитель: SM умножить на AC, знаменатель: AS конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$

507775

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$

Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние от точки до прямой