РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507770 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 3x плюс 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 5x плюс 3 корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в степени 5 конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 32 правая круглая скобка 11, знаменатель: логарифм по основанию 2 11 конец дроби .$

Решение. Сделаем замену $корень из: начало аргумента: x конец аргумента =y,y больше или равно 0$ и упростим левую и правую части: $дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 3y в квадрате плюс 2y минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 5y в квадрате плюс 3y минус 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 1.$

Учитывая, что $y больше или равно 0,$ домножая на знаменатель, получаем два случая :

Первый случай (знаменатель положителен):

$1 меньше 5y в квадрате плюс 3y минус 2 меньше или равно 3y в квадрате плюс 2y минус 1 равносильно система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 3 больше 0, новая строка 2y в квадрате плюс y минус 1 меньше или равно 0 конец системы равносильно система выражений новая строка y больше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби , новая строка 0 меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы решенийнет.$ $1 меньше 5y в квадрате плюс 3y минус 2 меньше или равно 3y в квадрате плюс 2y минус 1 равносильно система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 3 больше 0, новая строка 2y в квадрате плюс y минус 1 меньше или равно 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка y больше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби , новая строка 0 меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы решенийнет.$ $1 меньше 5y в квадрате плюс 3y минус 2 меньше или равно 3y в квадрате плюс 2y минус 1 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 3 больше 0, новая строка 2y в квадрате плюс y минус 1 меньше или равно 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка y больше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби , новая строка 0 меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы решенийнет.$

Второй случай (знаменатель отрицателен):

$система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 2 меньше 1, новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 2 больше или равно 3y в квадрате плюс 2y минус 1, новая строка 3y в квадрате плюс 2y минус 1 больше 0. конец системы равносильно система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 3 меньше 0, новая строка 3y в квадрате плюс 2y минус 1 больше 0, новая строка 2y в квадрате плюс y минус 1 больше или равно 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 0 меньше или равно y меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби , новая строка y больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка y больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно y меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби .$ $система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 2 меньше 1, новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 2 больше или равно 3y в квадрате плюс 2y минус 1, новая строка 3y в квадрате плюс 2y минус 1 больше 0. конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 5y в квадрате плюс 3y минус 3 меньше 0, новая строка 3y в квадрате плюс 2y минус 1 больше 0, новая строка 2y в квадрате плюс y минус 1 больше или равно 0 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 0 меньше или равно y меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби , новая строка y больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка y больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно y меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби .$

Тогда

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из: начало аргумента: x конец аргумента меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента минус 3, знаменатель: 10 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше дробь: числитель: 39 минус 3 корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 50 конец дроби .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0,25; дробь: числитель: 39 минус 3 корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 50 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507770

$левая квадратная скобка 0,25; дробь: числитель: 39 минус 3 корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 50 конец дроби правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507770	$левая квадратная скобка 0,25; дробь: числитель: 39 минус 3 корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 50 конец дроби правая круглая скобка .$