РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507764 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство: $дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 в кубе правая круглая скобка 7, знаменатель: логарифм по основанию 5 7 конец дроби .$

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 в кубе правая круглая скобка 7, знаменатель: логарифм по основанию 5 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3\lg левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$ $дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 в кубе правая круглая скобка 7, знаменатель: логарифм по основанию 5 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3\lg левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$ $дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 в кубе правая круглая скобка 7, знаменатель: логарифм по основанию 5 7 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3\lg левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5y в квадрате минус 2y плюс 1, знаменатель: 4y в квадрате минус 5y плюс 1 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Перейдём к системе:

$система выражений новая строка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 больше 0, новая строка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 не равно 1, новая строка 5y в квадрате минус 2y плюс 1 больше 0, новая строка левая круглая скобка 4y в квадрате минус 5y плюс 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5y в квадрате минус 2y плюс 1, знаменатель: 4y в квадрате минус 5y плюс 1 конец дроби минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка 4y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка больше 0, новая строка y левая круглая скобка 4y минус 5 правая круглая скобка не равно 0, новая строка левая круглая скобка 4y минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы$

Решение первого неравенства: $y меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ или $y больше 1.$ Из второго равенства получаем, что $y не равно 0$ и $y не равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$ Решение третьего неравенства: $минус 3 меньше или равно y меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$

Таким образом, решением неравенства является множество $левая квадратная скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507764

$левая квадратная скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507764	$левая квадратная скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$