РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507690 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Прямая треугольная призма, Расстояние от точки до плоскости, Сечение  — треугольник, Сечение, проходящее через три точки, Прямая четырехугольная призма

Стереометрическая задача. Расстояние от точки до плоскости

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, AB  =  AC  =  5, BC  =  6. Высота призмы равна 3.

а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки A, A₁ и середину ребра B₁C₁, перпендикулярна плоскости $A_1BC.$

б)  Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до плоскости BCA₁.

Решение.

а)  Пусть $A_1D_1$   — высота треугольника $A_1B_1C_1,$ тогда $D_1$   — середина стороны $B_1C_1.$ Плоскость $AA_1D_1$ пересекает плоскость $BCA_1$ по прямой $A_1D,$ где D  — середина отрезка $BC.$ Прямая BC перпендикулярна плоскости $AA_1D_1$ поскольку перпендикулярна прямым $DD_1$ и $A_1D_1.$ Следовательно, плоскости $AA_1D_1$ и $BCA_1$ перпендикулярны.

б)  По доказанному в пункте а) расстояние от точки $D_1$ до плоскости $BCA_1$ равно высоте $D_1H$ прямоугольного треугольника $A_1D_1D.$

Из условия следует, что $DD_1=3,C_1D_1=3,A_1D_1= корень из: начало аргумента: A_1C_1 в квадрате минус C_1D_1 в квадрате конец аргумента =4,$ откуда

$D_1H= дробь: числитель: A_1D_1 умножить на DD_1, знаменатель: корень из: начало аргумента: A_1D_1 в квадрате плюс DD_1 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 4 умножить на 3, знаменатель: 5 конец дроби =2,4.$

Ответ: 2,4.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 2,4.

507690

2,4.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507690	2,4.