РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507681 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная треугольная призма, Расстояние от точки до плоскости, Сечение  — треугольник, Сечение, проходящее через три точки

Стереометрическая задача. Расстояние от точки до плоскости

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL₁M₁N₁ равно её высоте и равно $2 корень из 5 .$

а)  Докажите, что сечение призмы, проходящее через $L, M_1$ и точку T  — середину ребра $L_1N_1,$ является прямоугольным треугольником.

б)  Найдите расстояние от точки L₁ до плоскости LM₁T.

Решение. а)  Призма  — прямая, поэтому прямая $M_1T$ перпендикулярна плоскости $LNN_1$ и, значит, $M_1T\perp LT.$ Значит, треугольник $LTM_1$ прямоугольный.

б)  Пусть $L_1P$   — высота треугольника $LL_1T.$ Призма  — прямая, поэтому прямая $M_1T$ перпендикулярна плоскости $LNN_1$ и, значит, $M_1T\perp L_1P.$

Рис. 1

Рис. 2

Следовательно, $L_1P\perp LM_1T.$ Отсюда следует, что расстояние от точки $L_1$ до плоскости $LM_1T$ равно длине отрезка $L_1P.$ По теореме Пифагора $LT= корень из: начало аргумента: LL_1 в квадрате плюс L_1T в квадрате конец аргумента =5.$ Найдём $L_1P:$

$L_1P= дробь: числитель: L_1L умножить на L_1T, знаменатель: LT конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби =2.$

Ответ: 2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 2.

507681

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507681	2.