РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507676 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Пусть $y=2 в степени x минус 1,$ тогда $x= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка ,$ и неравенство принимает вид

$дробь: числитель: логарифм по основанию 4 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 y минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 дробь: числитель: 4y, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: y плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби меньше или равно 0.$

Перейдём к системе неравенств:

$система выражений новая строка дробь: числитель: дробь: числитель: 4y, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус 1, знаменатель: дробь: числитель: y плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y плюс 1 больше 0, новая строка y больше 0 конец системы равносильно система выражений новая строка минус дробь: числитель: y в квадрате минус 2y плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 0. конец системы равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка y больше 0. конец системы равносильно y больше 1.$ $система выражений новая строка дробь: числитель: дробь: числитель: 4y, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус 1, знаменатель: дробь: числитель: y плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y плюс 1 больше 0, новая строка y больше 0 конец системы равносильно система выражений новая строка минус дробь: числитель: y в квадрате минус 2y плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 0. конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка y больше 0. конец системы равносильно y больше 1.$

Вернёмся к исходной переменной, тогда $2 в степени x минус 1 больше 1 равносильно 2 в степени x больше 2 равносильно x больше 1.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведём другое решение.

Перенесём 1 в левую часть, приведём выражения к общему знаменателю, получим неравенство

$дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0.$

Применим обобщённый метод интервалов. Область определения неравенства задаётся условием $2 в степени x больше 1,$ откуда $x больше 0.$ Корнем знаменателя является число 1. Найдём корни числителя:

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка = x минус 1 равносильно 2 в степени x минус 1 = 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 =0 равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 2 в степени x =2 равносильно x=1.$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка = x минус 1 равносильно 2 в степени x минус 1 = 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 2 в степени x =2 равносильно x=1.$

Выясним знаки неравенства на промежутках (0; 1) и (1; +∞), взяв пробные точки.

Пусть $x=2,$ тогда знаменатель положителен, числитель равен $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 3 минус 1 = логарифм по основанию 4 3 минус логарифм по основанию 4 4.$ Полученное выражение отрицательно, поэтому на промежутке (1; +∞) дробь отрицательна.

Пусть $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда знаменатель отрицателен, числитель равен

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Полученное выражение отрицательно, поскольку $корень из 2 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби },$ поэтому на на промежутке (0; 1) дробь положительна.

Нанесём область определения, найденные корни и знаки неравенства на числовую прямую (см. рис.) и выпишем ответ: (1; +∞).

Приведём ещё одно решение.

Рассмотрим два случая.

1 случай. При $x минус 1 больше 0$ получаем

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 0 меньше 2 в степени x минус 1 меньше или равно 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 2 в степени x больше 1, 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 конец системы . равносильно x больше 0.$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 0 меньше 2 в степени x минус 1 меньше или равно 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 2 в степени x больше 1, 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 конец системы . равносильно x больше 0.$

Учитывая условие $x минус 1 больше 0,$ получаем $x больше 1.$

2 случай. При $x минус 1 меньше 0$ получаем

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 2 в степени x минус 1 больше или равно 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно 2 в степени x минус 2=0 равносильно x=1.$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 в степени x минус 1 больше или равно 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно 2 в степени x минус 2=0 равносильно x=1.$

Учитывая условие $x минус 1 меньше 0,$ получаем, что второй случай не даёт решений.

Таким образом, получаем ответ: $x больше 1.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

507676

$левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$