PDF-версии: 
Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC.
Решение. а) Заметим, что проекция прямой CM на плоскость ABC -- это прямая CO, на которой лежит высота треугольника ABC. Поэтому 
а значит, по теореме о трех перпендикулярах Что и требовалось доказать.
б)Пусть N — середина ребра AB, а P — середина отрезка 
Прямая AL лежит в плоскости APL, параллельной прямой 
Поэтому искомое расстояние равно расстоянию от прямой MO до плоскости 
Опустим из точки O перпендикуляр OH на прямую 
Тогда 
и нам остаётся найти длину отрезка 
Отношение 
поэтому точки P и O делят отрезок CN на три равные части длиной 
каждая. Пусть 
В треугольнике 
Следовательно, 
Из треугольника OPH находим, что 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |