РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507661 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Рациональные неравенства

Методы алгебры: Замена  — сумма или разность

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Рациональные неравенства

Решите неравенство

$дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 6x плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x в квадрате плюс x плюс 5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Решение. Сделаем замену: $a= дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,b= дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби .$ Тогда

$a плюс b= дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате плюс x плюс 5, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби .$

Неравенство принимает вид: $a в квадрате плюс b в квадрате меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда

$a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0.$

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=b.$ Получаем:

$дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2 = x в квадрате плюс 4x плюс 3 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к неравенству $дробь: числитель: левая круглая скобка 7x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 0,$ откуда также получается ответ $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

507661

$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Рациональные неравенства

Методы алгебры: Замена  — сумма или разность

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507661	$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$