РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507660 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Сечение  — параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, AB  =  10, BC  =  12, CC₁  =  6,5. Найдите угол между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины рёбер AA₁ и C₁D₁.

Решение. а)  Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда  — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, $AC=B_1D_1,$ $CB_1=AD_1,$ $AB_1=CD_1.$ Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б)  Найдём угол между прямой EF и плоскостью грани $A_1B_1C_1D_1$ которая параллельна плоскости $ABC.$ Точка $A_1$   — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол равен углу $EFA_1.$ Найдём тангенс угла $EFA_1:$

$A_1E= дробь: числитель: 6,5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ,D_1F= дробь: числитель: 10, знаменатель: 2 конец дроби =5,A_1F= корень из: начало аргумента: 12 в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента =13,$

$тангенс \angle EFA_1= дробь: числитель: A_1E, знаменатель: A_1F конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 умножить на 13 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

507660

$арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507660	$арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$