РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507657 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Сечение  — параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AA₁ = 3, AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD₁ и прямой EF, проходящей через середины рёбер AB и B₁C₁.

Решение. а)  Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда  — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, $AC=B_1D_1,$ $CB_1=AD_1,$ $AB_1=CD_1.$ Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б)  Найдём угол между прямой EF и плоскостью $BCC_1,$ которая параллельна плоскости $ADD_1.$ Точка B  — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол равен углу $EFB.$ Найдём тангенс угла $EFB:$

$BE= дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби =3,B_1F= дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби =4,FB= корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента =5,$ $BE= дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби =3,B_1F= дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби =$
$=4,FB= корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента =5,$

$тангенс \angle EFB= дробь: числитель: BE, знаменатель: BF конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

507657

$арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507657	$арктангенс дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$